La fisica nei tornei di poker di Clèment Sire

Introduzione

Gli scienziati di fisica sono ora più che mai interessati allo studio di sistemi complessi che non appartengono al dominio tradizionale della scienza. La finanza, le reti umane (Internet, gli aeroporti), le dinamiche dell’evoluzione biologica ed in generale di agenti competitivi sono alcuni dei problemi ai quali si sono dedicati recentemente i fisici statistici.

Da notare che in precedenza famosi matematici come Emile Borel (il fondatore dei moderni integrali e uno dei primissimi teorici del bridge) e John von Neumann (all’origine della moderna teoria sui giochi, è uno dei maggiori contributi) sono tra i primi scienziati che si sono interessati al poker, cercando la miglior strategia (bluff incluso) in una semplice versione di poker testa a testa.

Uno degli aspetti carini del torneo di poker risiede nel fatto ovvio che è uno dei pochissimi sistemi umani isolati ovvero non affetto da fenomeni esterni (a differenza del mercato finanziario, per esempio)

Definizione del modello poker tournament

All’inizio i giocatori (fino a 10000 nei tornei dal vivo) si siedono ai tavoli composti da 10 giocatori al massimo, e ricevono la stessa quantità di fiches. Ad ogni tavolo il giocatore vicino al dealer deve mettere il buio. Quindi, ogni giocatore riceve la propria mano, il cui valore è un numero casuale tra 0 ed 1. I giocatori possono fare Fold, Call o andare all-in ovvero puntare tutte le proprie fiches rischiando però di essere chiamati. Il giocatore con la mano più alta vince il piatto. I giocatori che finiscono le fiches sono eliminati.

Il modello mantiene i 2 aspetti principali dei tornei reali:

1. La puntata minima è il buoi, che cresce esponenzialmente col tempo. Nei tornei reali, i bui crescono gradualmente (40$, 60$, 100$, 150$, 200$, 300$, 400$...) e vengono quindi moltiplicati per un fattore 10 ogni 1 o 2 ore. La crescita dei bui stabilisce il “passo” del torneo.
2. Il maggior numero di mani si conclude con un giocatore che vince un piccolo multiplo del buio. Comunque, durante certe mani, 2 o più giocatori possono aggressivamente farsi re-raise, in maniera tale che alla fine puntino una grossa parte, se non tutte, delle loro fiches. Nel modello i giocatori hanno una probabilità finita q>0 di andare all-in, in modo da imitare questo effetto.

La soluzione del modello mostra che esiste un valore ottimo per q: se i giocaroti vanno all-in troppo spesso la partita è dominata dai processi di all-in ed il numero medio di fiches per giocatore può diventare rapidamente molto più grande del buio. Il primo giocatore ad andare all-in agisce scioccamente e si prende il rischio di essere eliminato solo per vincere il (trascurabile) buio. Al contrario, se q è troppo piccolo, i giocatori (soprattutto quelli con un numero di fiches in calo) sarebbero sciocchi se non raccogliessero la migliore opportunità per raddoppiare le proprie fiches andando all-in. Solitamente ci si aspetta che i giocatori reali aggiustino, mediamente, il loro q vicino al valore ottimo. In una versione più realistica del modello (work in process), il valore ottimo di q non è costante e dipende dagli stacks dei giocatori presenti al tavolo. Questo riproduce il fatto ben noto che i giocatori con un piccolo stack vanno all-in pià frequentemente dei giocatori più ricchi (ma sono più spesso chimati… sfortunatamente per loro!)

Alcuni risultati del modello

La figura sotto mostra la distribuzione di probabilità f(X) di trovare un giocatore sopravvissuto con un ammontare di fiches pari a X ( con X = numero di fiches / numero di fiches medie per giocatore). La linea nera ed i cerchi verdi rappresentano i dati attuali provenienti dai tornei su internet, e la linea sottile punteggiata corrisponde alla simulazione numerica del modello. Le linee blu a trattini sono i risultati della soluzione matematica del modello. Da notare che risultati molto simili si sono ottenuti per i 5 main events del World Poker Tour 2006 ($10000 di buy-in). Il massimo della distribuzione corrisponde a giocatori che hanno circa il 55% dello stack medio in quel momento.

È stata anche disegnata la distribuzione della somma cumulativa F(X) che rappresenta la percentuale di giocatori che posseggono meno fiches di un giocatore con X fiches (in unità rispetto allo stack medio). Ad esempio, un giocatore che possiede il doppio dello stack medio (X=2) precede il 90% degli altri giocatori, mentre un giocatore con solo la metà dello stack medio (X=1/2) è avanti rispetto al 25% degli altri giocatori. Quindi il modello permette di valutare la posizione corrente di un giocatore, il ché può essere utile per i giocatori dal vivo, quando non è disponibile un ranking aggiornato in tempo reale.

La cosa interessante è inoltre che queste distribuzioni non dipendono dal tempo o dal numero di giocatori rimanenti (sebbene questo non debba essere troppo piccolo).